高等数学领域复杂LaTeX公式集萃

$$ \frac{\frac{d}{dx}\left[\int_{0}^{x}\left(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin(n\cdot e^{x^2})}{n^2}\cdot\cos\left(\sqrt{x^3 + \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k^2}}\right)\right)dx\right]}{\prod_{m = 1}^{5}\left(\ln\left(1 + \frac{\tan\left(\frac{x^4}{m}\right)}{\arctan\left(\sum_{i = 1}^{m}\frac{x^i}{i!}\right)}\right)\right)}+ \left[\sum_{j = 1}^{10}\left(\frac{\int_{0}^{x^2}\left(e^{-\left(\frac{t}{j}\right)^2}\cdot\sin\left(\sqrt{t^2 + 1}\right)\right)dt}{\sum_{l = 1}^{j}\frac{(-1)^l}{l^3}}\right)\right]^{\frac{1}{2}} $$

一、多元微积分

1. 多元函数全微分

设 $z = f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某邻域内有定义，且 $f_x(x,y)$ 与 $f_y(x,y)$ 都存在，则函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，其全微分 $dz$ 为：

$$dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

当考虑更为复杂的 $n$ 元函数 $u = f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 时，全微分公式拓展为：

$$du=\sum_{i = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$$

例如，对于函数 $z = x^{2}y + 3xy^{2}$，先求偏导数：

$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy + 3y^{2}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}+6xy$ 。

假设 $x = 2$，$y = 1$，$dx = 0.01$，$dy = 0.02$ 。

此时，$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{x = 2,y = 1}=2\times2\times1+3\times1^{2}=4 + 3 = 7$ ；

$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{x = 2,y = 1}=2^{2}+6\times2\times1=4 + 12 = 16$ 。

则全微分 $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，将上述值代入可得：

$$dz = 7\times0.01+16\times0.02=0.07 + 0.32 = 0.39$$

再如，对于函数 $u = x^2y + \sin(yz)$，$\frac{\partial u}{\partial x}=2xy$，$\frac{\partial u}{\partial y}=x^2 + z\cos(yz)$，$\frac{\partial u}{\partial z}=y\cos(yz)$ 。

若 $x = 1$，$y = 2$，$z = 3$，$dx = 0.1$，$dy = 0.2$，$dz = 0.3$ 。

$\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{x = 1,y = 2,z = 3}=2\times1\times2 = 4$ ；

$\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{x = 1,y = 2,z = 3}=1^{2}+3\times\cos(2\times3)=1 + 3\cos6$ ；

$\frac{\partial u}{\partial z}\big|_{x = 1,y = 2,z = 3}=2\times\cos(2\times3)=2\cos6$ 。

全微分为 $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz$ ，即：

$$ \begin{align} du&=4\times0.1+(1 + 3\cos6)\times0.2+2\cos6\times0.3\ &=0.4 + 0.2+0.6\cos6+0.6\cos6\ &=0.6 + 1.2\cos6 \end{align} $$

1. 格林公式

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x,y)$ 及 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\oint_{L}Pdx + Qdy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$$

其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线。若 $D$ 是一个多连通区域，格林公式依然适用，只是边界曲线 $L$ 包含了所有内外边界。例如，对于由 $x^2 + y^2 = 1$ 和 $x^2 + y^2 = 4$ 所围成的环形区域 $D$，在计算 $\oint_{L}(xy^2dx + x^2ydy)$ 时，可利用格林公式将曲线积分转化为二重积分求解。

1. 高斯公式

设空间闭区域 $\varOmega$ 由分片光滑的闭曲面 $\varSigma$ 所围成，函数 $P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$ 在 $\varOmega$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\underset{\varSigma}{∯}Pdydz + Qdzdx+Rdxdy=\underset{\varOmega}{\iiint}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$

例如，对于一个半径为 $R$ 的球体 $\varOmega$，其表面为 $\varSigma$，计算 $\underset{\varSigma}{∯}xdydz + ydzdx + zdxdy$，利用高斯公式可转化为球体体积积分 $\underset{\varOmega}{\iiint}(1 + 1 + 1)dxdydz = 3\underset{\varOmega}{\iiint}dxdydz$，结果为 $4\pi R^3$。

1. 斯托克斯公式

设 $\varGamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线，$\varSigma$ 是以 $\varGamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面，$\varGamma$ 的正向与 $\varSigma$ 的侧符合右手规则，函数 $P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$ 在包含曲面 $\varSigma$ 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有

$$\oint_{\varGamma}Pdx + Qdy + Rdz=\iint_{\varSigma}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

例如，在一个螺旋线 $\varGamma$ 围绕的曲面 $\varSigma$ 上计算 $\oint_{\varGamma}(y - z)dx+(z - x)dy+(x - y)dz$，运用斯托克斯公式可将曲线积分转化为曲面积分进行计算。

二、复变函数

1. 柯西积分公式

设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单闭曲线，$z_0$ 为 $C$ 内的任一点，则有

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z - z_0}dz$$

例如，已知 $f(z)=e^z$，$C$ 为以原点为圆心，半径为 $1$ 的正向圆周，计算 $\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{e^z}{z - \frac{1}{2}}dz$，根据柯西积分公式，结果为 $e^{\frac{1}{2}}$。

1. 留数定理

设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内除有限个孤立奇点 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 外处处解析，$C$ 是 $D$ 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则

$$\oint_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum_{k = 1}^{n}\underset{z = z_k}{\mathrm{Res}}f(z)$$

其中 $\underset{z = z_k}{\mathrm{Res}}f(z)$ 表示 $f(z)$ 在奇点 $z_k$ 处的留数。若 $z_k$ 为 $m$ 阶极点，则 $\underset{z = z_k}{\mathrm{Res}}f(z)=\frac{1}{(m - 1)!}\lim_{z\rightarrow z_k}\frac{d^{m - 1}}{dz^{m - 1}}[(z - z_k)^m f(z)]$。例如，对于函数 $f(z)=\frac{z^2}{(z - 1)(z - 2)^2}$，在以 $3$ 为圆心，半径为 $2$ 的正向圆周上积分，通过计算 $z = 1$ 和 $z = 2$ 处的留数，再利用留数定理可求出积分值。

1. 傅里叶变换与拉普拉斯变换

2. 傅里叶变换：设 $f(t)$ 满足狄利克雷条件且在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积，则 $f(t)$ 的傅里叶变换为

$$F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

其逆变换为

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

例如，矩形脉冲函数 $f(t)=\begin{cases}1, & |t|\leq \tau/2 \ 0, & |t|>\tau/2\end{cases}$ 的傅里叶变换为 $F(\omega)=\frac{\sin(\frac{\omega\tau}{2})}{\frac{\omega}{2}}$。

• 拉普拉斯变换：设函数 $f(t)$ 当 $t\geq0$ 时有定义，且积分 $\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ 在 $s$ 的某一区域内收敛，则由此积分确定的函数

$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$$

称为 $f(t)$ 的拉普拉斯变换。例如，单位阶跃函数 $u(t)=\begin{cases}0, & t<0 \ 1, & t\geq0\end{cases}$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)=\frac{1}{s}$（$\mathrm{Re}(s)>0$）。

三、微分方程

1. 二阶常系数线性非齐次微分方程

$$y'' + py'+qy = f(x)$$

其中 $p,q$ 为常数，$f(x)$ 为已知函数。对应的齐次方程 $y'' + py'+qy = 0$ 的特征方程为 $r^2 + pr+q = 0$，根据特征根的不同情况（两个不相等实根 $r_1,r_2$、两个相等实根 $r_1 = r_2$、一对共轭复根 $\alpha\pm i\beta$），齐次方程的通解形式不同。对于非齐次方程，当 $f(x)$ 为特定形式（如 $P_n(x)e^{\lambda x}$、$e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x + Q_m(x)\sin\omega x]$ 等）时，可采用特定的方法（如待定系数法）求特解。例如，方程 $y'' - 3y'+2y = x^2e^x$，先求齐次方程通解，再根据 $f(x)$ 的形式设特解为 $y^*=(Ax^2 + Bx + C)e^x$，代入原方程确定系数求解。

1. 偏微分方程之热传导方程

$$ \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

这是一维热传导方程，其中 $u(x,t)$ 表示温度分布，$a^2$ 为热扩散系数。在有界区间 $[0,L]$ 上，结合初始条件 $u(x,0)=\varphi(x)$（$0\leq x\leq L$）和边界条件（如第一类边界条件 $u(0,t)=g_1(t)$，$u(L,t)=g_2(t)$），可利用分离变量法求解。设 $u(x,t)=X(x)T(t)$，代入方程分离变量得到关于 $X(x)$ 和 $T(t)$ 的常微分方程，分别求解后再根据初始条件和边界条件确定系数，得到满足条件的解。例如，对于 $a = 1$，$L=\pi$，$\varphi(x)=\sin x$，$g_1(t)=g_2(t)=0$ 的情况，通过分离变量法可求出温度分布函数 $u(x,t)$。